ニュートンが作った、円周率の無平方根公式。
ニュートンの無平方根公式は、
以下の通り。
この式で、円周率の近似計算を
誤差評価も含めて下記の通り実施できる。
（2021-02-28、カタラン数について追記）
カタラン数 Cn は以下の通り表されるので､
より簡潔に公式を表現できる。
なお、カタラン数 Cn は整数になる。
（以上、2021-02-28の追記）
右辺を変形すると、
ここで、任意の負でない整数mを考え、
上式の∞をmにしたものをf(m) とすると、
であることから、
次式が成立することがわかる。
この右辺をg(m) とする。
ただし、qは次式をみたす任意の整数。
ここで、
(3×5) / (2×4×6) = 5/16 < 5/15 = 1/3
であることから、mが0か1であればq≦2,
mが2以上であればq≦3であることがわかる。
さらに、
であることから、mが4以上であれば
q≦4であることがわかる。
以上のことから、次表の通り
近似計算できる。
円周率が約3.14であることを計算するのは、
手計算でもじゅうぶんに可能。
表：円周率の近似計算結果
| m=0 q=2 | f(0)=3 g(0)=3.25 3 < π < 3.25 |
|---|---|
| m=1 q=2 | f(1)=3.125 g(1)=3.1625 3.125 < π < 3.17 |
| m=2 q=3 | f(2)=3.139.... g(2)=3.143.... 3.139 < π < 3.144 3.135 < π < 3.145 |
| m=3 q=3 | f(3)=3.1411.... g(3)=3.1420.... 3.141 < π < 3.143 3.14 < π < 3.145 |
| m=4 q=4 | f(4)=3.14151.... g(4)=3.14164.... 3.1415 < π < 3.142 |
| m=5 q=4 | f(5)=3.141576.... g(5)=3.141604.... 3.14157 < π < 3.14161 3.14155 < π < 3.14165 |
参考資料
資料は三つ。その内の、
次のふたつを資料にし、本ページでは
よりわかりやすく変形した式を掲載。
（変形前と同値であることを検証済。）
松元 隆二：円周率の公式集, Ver.3.141, 2000,
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/dvi/pi.pdf
中川 仁：円周率について, 上越教育大学, 2000,
https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi.pdf
また、中川氏の上記資料に加えて、
次の資料を参考にして、本ページでは
本題の式を「ニュートンの無平方根公式」
と称した。
後 保範：πを求める公式, 2002,
http://www.cs.t-kougei.ac.jp/nsim/method/piform.htm
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ペンネームも
ニュートンの無平方根公式
です。
ページ公開日：2021-02-11
最終更新日：2022-02-11
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