ニュートンが作った、円周率の無平方根公式。

ニュートンの無平方根公式は、
以下の通り。

この式で、円周率の近似計算を
誤差評価も含めて下記の通り実施できる。

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(2021-02-28、カタラン数について追記)
カタラン数Cnは以下の通り表されるので、
より簡潔に公式を表現できる。
なお、カタラン数Cnは整数になる。

(以上、2021-02-28の追記)

右辺を変形すると、

ここで、任意の負でない整数mを考え、
上式の∞をmにしたものをf(m) とすると、

であることから、
次式が成立することがわかる。

この右辺をg(m) とする。
ただし、qは次式をみたす任意の整数。

ここで、
(3×5) / (2×4×6) = 5/16 < 5/15 = 1/3
であることから、mが0か1であればq≦2,
mが2以上であればq≦3であることがわかる。
さらに、

であることから、mが4以上であれば
q≦4であることがわかる。

以上のことから、次表の通り
近似計算できる。
円周率が約3.14であることを計算するのは、
手計算でもじゅうぶんに可能。

表:円周率の近似計算結果

m=0
 q=2
f(0)=3
g(0)=3.25
3 < π < 3.25
m=1
 q=2
f(1)=3.125
g(1)=3.1625
3.125 < π < 3.17
m=2
 q=3
f(2)=3.139....
g(2)=3.143....
3.139 < π < 3.144
3.135 < π < 3.145
m=3
 q=3
f(3)=3.1411....
g(3)=3.1420....
3.141 < π < 3.143
3.14   < π < 3.145
m=4
 q=4
f(4)=3.14151....
g(4)=3.14164....
3.1415 < π < 3.142
m=5
 q=4
f(5)=3.141576....
g(5)=3.141604....
3.14157 < π < 3.14161
3.14155 < π < 3.14165

参考資料

資料は三つ。その内の、
次のふたつを資料にし、本ページでは
よりわかりやすく変形した式を掲載。
(変形前と同値であることを検証済。)

松元 隆二:円周率の公式集, Ver.3.141, 2000,
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/dvi/pi.pdf
中川 仁:円周率について, 上越教育大学, 2000,
https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi.pdf

また、中川氏の上記資料に加えて、
次の資料を参考にして、本ページでは
本題の式を「ニュートンの無平方根公式」
と称した。
後 保範:πを求める公式, 2002,
http://www.cs.t-kougei.ac.jp/nsim/method/piform.htm

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ペンネームも
ニュートンの無平方根公式
です。
ページ公開日:2021-02-11
最終更新日:2021-04-05

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